Ch5 入門　對稱從零開始＋數字怎麼背

這頁在回答：結晶學一開始就丟出一堆符號（4/m 3̄ 2/m）和數字（6、32、14、230），很容易直接放棄。其實只要搞懂三件事就夠考試用：① 對稱操作有哪幾種、② 符號每一格代表什麼方向、③ 數字背後的「分配表」。讀完這頁再回去看〈Ch5 結晶學簡介〉會順很多。

考前 30 秒

1. 對稱 = 做一個動作之後，東西看起來跟原本一模一樣。四種動作：鏡射 m、旋轉 n、反演 i（= 1̄）、旋轉反演 n̄。
2. 晶體只有 1、2、3、4、6 次軸，因為只有這些形狀能鋪滿地板（沒有 5）。
3. 符號 n/m = n 次軸 + 垂直它的鏡面；3̄ 這種上面一槓 = 旋轉反演。
4. 判斷晶系：第二格是 3 → 等軸；第一格是 6 或 3 → 六方；第一格是 4 → 正方；全是 2／m → 斜方；只有一個 2／m → 單斜；只有 1 或 1̄ → 三斜。
5. 數字：6 晶系 → 32 晶族（= 點群）→ 14 Bravais 晶格 → 230 空間群；考古題 6 + 32 + 230 + 14 = 282。
6. 32 的分配：三斜 2、單斜 3、斜方 3、正方 7、六方 12（三方 5 + 六方 7）、等軸 5。14 的分配：1、2、4、2、2、3。

1. 對稱到底是什麼？

拿一個東西，對它做一個「動作」，做完之後看起來和原本一模一樣，這個動作就是一個對稱操作；動作所依靠的那個面、那條線、那個點，叫對稱要素。

被重複的那個小單位叫基元（motif），在礦物裡是原子或原子團。為了看得出對稱，下面的圖用一個「不對稱的小腳印」當基元。

旋轉反演最容易卡住，記這個就好：

• 1̄ 就是反演中心 i。
• 2̄ 就是垂直該軸的鏡面 m（所以不另外寫 2̄）。
• 3̄ = 3 次軸 + 對稱中心。
• 6̄ = 3 次軸 + 垂直的鏡面（3/m）。
• 只有 4̄ 是真正「新」的東西：它不能拆成其他要素的組合。

為什麼只有 1、2、3、4、6？ 晶體是同一個小單位（晶胞）平移、一格一格堆滿空間做成的，所以它的對稱必須能「鋪滿地板」。正三角形（內角 60°，6 個 = 360°）、正方形（90°，4 個）、正六邊形（120°，3 個）都能剛好拼一圈；正五邊形內角 108°，3 個只有 324°，永遠留 36° 縫隙。7 次以上也都拼不起來。（上面互動圖選「5 次」看看。）

2. 國際符號怎麼讀

三條規則

1. 數字 = 旋轉軸的次數；數字上面一槓（3̄）= 旋轉反演軸；m = 鏡面。
2. n/m（斜線）= n 次軸加上和它垂直的鏡面。例：2/m 是一條 2 次軸，加一面和它垂直的鏡子。
3. 符號有幾格，每一格代表一個「方向」；那一格寫的是沿那個方向的軸（和垂直那個方向的鏡面）。每個晶系的格子方向不同：

看符號判斷晶系（照順序問自己）

1. 第二格是 3 或 3̄ 嗎？ → 等軸。（例：23、m3̄、432、4̄3m、m3̄m）
2. 第一格是 6、6̄、3、3̄ 嗎？ → 六方（3 開頭的是三方分部）。（例：32、3m、6mm）
3. 第一格是 4 或 4̄ 嗎？ → 正方。（例：4/mmm、4̄2m）
4. 三格都是 2 或 m 嗎？ → 斜方。（例：222、mm2、mmm）
5. 只有一個 2 或 m（或 2/m）？ → 單斜。
6. 只有 1 或 1̄？ → 三斜。

最常考的陷阱：23 和 32。23 的 3 在第二格（體對角線）→ 等軸；32 的 3 在第一格（c 軸）→ 六方（三方）。順序不一樣，晶系就不一樣。

m3m 是 4/m 3̄ 2/m 的縮寫（只寫鏡面，軸可以從鏡面推回來）。

3. 從符號數出對稱要素

考卷常問「列出這個晶族的對稱要素」或「看赤平投影判斷晶族」。下面的互動圖把七個最高對稱晶族的赤平投影都畫出來了，選一個，對照右邊的清單數一數。

小技巧：每一格寫成「n/m」時，那個方向就同時有一條 n 次軸和一面垂直的鏡子；只要有一條偶數次軸配一面垂直鏡面，就一定有對稱中心（所以 7 個最高對稱晶族全部都有 i）。

4. 數字怎麼背 ★

一句話記四個數字：6 → 32 → 14 → 230

順序就是「由粗到細」：先分 6 大類，每類再細分晶族，晶格是另一條線（14），全部組起來最細（230）。邏輯：32（外形）＋ 14（晶格）＋ 平移 → 230（原子排列）。

6 晶系：從最對稱一路「掉條件」

• 等軸：a = b = c，全 90° ——三邊等長、全直角（骰子）。
• 正方：把 c 拉長 → a = b ≠ c，全 90°（四角柱）。
• 斜方：三邊都不一樣 → a ≠ b ≠ c，全 90°（火柴盒）。
• 單斜：再推歪一個角 → β ≠ 90°。
• 三斜：全部都歪 → 三個角都不等於 90°。
• 六方是另外一支：底面是 120° 的三條 a 軸 + 垂直的 c 軸。

口訣：「等、正、斜、單、三，再加一個六方」——每往下一個就少一個條件。

32 晶族：2–3–3–7–12–5

口訣：「三斜兩個、單斜斜方各三個、正方六方各七個（六方再多三方五個）、等軸五個」：2 + 3 + 3 + 7 + 12 + 5 = 32。正方和六方都是 7，因為它們的結構完全對應（4 換成 6）。

14 Bravais 晶格：1–2–4–2–2–3

晶格點的放法有四種：P 簡單（只有角）、C 底心（加一對面）、I 體心（加中心）、F 面心（加六個面），六方另有 R 菱面體。

1 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 = 14。口訣：「斜方最貪心四種全拿；等軸不要 C；正方只要 P 和 I；三斜最窮只有 P」。（為什麼等軸沒有 C？只加一對面會破壞三個方向相同的對稱。）

230 空間群

不用推導，記住「32 點群加上平移 → 230」，以及 230 的寫法：第一個字母是晶格（P、C、I、F、R），後面依晶系的格子順序寫對稱要素，可以出現螺旋軸（例 2₁、4₁）和滑移面（a、b、c、n、d）。例：P6/mcc、C2/c（透輝石）、P3₂21（低溫石英）。

考古題的數字遊戲

注意：題目把「晶族」和「點群」分開寫成兩個字母時，兩個都是 32，要加兩次。

5. 考場上遇到結晶學題目的流程

容易混淆