作業與計算題解題流程

思路：先「描述」再「解釋」，兩部分都要寫。解釋要用到三個觀念：LREE 比 HREE 不相容、熔融程度 F、石榴子石留住 HREE。

描述

• OIB（黑）：強烈 LREE 富集，La 約 100–400 倍球粒隕石，Lu 約 8–10 倍，整條往右下斜。
• MORB（紅）：LREE 虧損，La 只有約 3–20 倍、往左下彎；HREE 平坦，約 10–20 倍。

解釋（可以寫多個假說）

1. 熔融程度不同：LREE 比 HREE 更不相容（La 半徑大，離 cpx 晶格位置遠）。熔融程度 F 越低，不相容元素富集越多（C_L/C₀ 趨近 1/D）。OIB 來自熱點、F 低 → LREE 富集很多；MORB 的 F 較高 → 富集較少。
2. 石榴子石殘留：OIB 熔融深度深，殘留物中有石榴子石。石榴子石的 D_Yb ≈ 4，會把 HREE 留在固體裡 → 熔體的 HREE 低，斜率更陡。
3. 來源不同：MORB 來自已經被抽取過不相容元素的虧損上部地函，所以 LREE 本來就少，形成虧損型態；OIB 來自較深、未虧損（或富集）的地函柱。

思路：bulk D = 各礦物的 D 乘上它的比例，全部加起來。

步驟

• D_Ce = 0.6(0.001) + 0.25(0.003) + 0.1(0.1) + 0.05(0.02) = 0.0006 + 0.00075 + 0.01 + 0.001 = 0.012
• D_Yb = 0.6(0.002) + 0.25(0.05) + 0.1(0.28) + 0.05(4.0) = 0.0012 + 0.0125 + 0.028 + 0.2 = 0.24

哪個比較好：Ce

1. D_Ce ≪ 1，高度不相容 → C_L/C₀ ≈ 1/F，濃度直接反映熔融程度 F，模型簡單。
2. D_Yb 有 0.2 來自石榴子石（5% × 4.0），占了八成。熔融過程中石榴子石的比例會改變，D_Yb 跟著變，模型不穩定。

陷阱：比例要用小數（60% → 0.6）；石榴子石只占 5%，但對 Yb 的貢獻最大。

思路：同一個地函來源、不同熔融程度 F 的岩漿，如果兩個元素的比值不變，表示它們在熔融時行為一樣 → D 一樣。

步驟

1. 對 Ce 和 Th 各寫一次批次熔融：

2. 圖上所有岩漿的 Ce/Th 都差不多（資料落在同一條過原點附近的直線上），表示這個比值不隨 F 改變。
3. 右邊那個分數要不隨 F 改變，只能是 D_Th = D_Ce。
4. 所以 D_Th ≈ D_Ce ≈ 0.012。

陷阱：題目問的是「估計」，關鍵是寫出「比值固定 → D 相同」的推理，不是讀圖算斜率。

思路：同一個地函來源（C₀ 相同），把兩個岩漿的批次熔融式相除，C₀ 就消掉了。

步驟

1. 相除：

2. 近似 D ≈ 0（Th 高度不相容）：F_B/F_A = 5 → F_B = 5 F_A
3. 用 D = 0.012 精確算：5[D + F_A(1−D)] = D + F_B(1−D) → F_B = 5F_A + 4D/(1−D) ≈ 5F_A + 0.05

結論：A 的 Th 濃度是 B 的 5 倍 → A 的熔融程度比 B 低很多（大約只有 B 的 1/5）。不相容元素越濃，表示熔融程度越低。

例：若 F_A = 2%，則 F_B ≈ 15%。

陷阱：濃度高 ≠ 熔得多。不相容元素在低 F 時最濃。

思路：Hess's law。把已知的生成反應「翻面、乘倍數」，加起來要剛好等於目標反應，元素全部消掉。能這樣加，是因為 H 是狀態函數。

步驟

1. 目標反應的反應物是 Mg₂SiO₄、SiO₂ → 它們的生成式要反過來，ΔH 變號：
   • Mg₂SiO₄ → 2Mg + 2O₂ + Si　+2042.6
   • SiO₂ → Si + O₂　+859.4
2. 產物是 2 MgSiO₃ → 生成式乘 2：
   • 2Mg + 3O₂ + 2Si → 2MgSiO₃　2 × (−1497.4) = −2994.8
3. 三式相加，左右的 Mg、Si、O₂ 剛好消掉。
4. ΔH = 2042.6 + 859.4 − 2994.8 = −92.8 kJ = −92,800 J

快速版：ΔH = Σ產物 − Σ反應物 = 2(−1497.4) − [(−2042.6) + (−859.4)] = −92.8 kJ

陷阱：題目要 J；係數 2 要乘進去；反過來的式子要變號。

思路：ΔH、ΔS、ΔV 都是「產物 − 反應物」，記得乘係數。ΔG = ΔH − TΔS 判斷方向；加壓看 ΔV、升溫看 ΔS（來自 dG = V dP − S dT）。

步驟

1. ΔH = [−3202.34 + (−2288.01) + 2(−1546.77)] − [−4214.60 + 2(−2175.68)] = −8583.89 − (−8565.96) = −17.93 kJ
2. ΔS = [143.09 + 80.63 + 2(67.86)] − [205.43 + 2(95.19)] = 359.44 − 395.81 = −36.37 J/K
3. ΔV = [66.09 + 39.71 + 2(31.28)] − [100.79 + 2(43.79)] = 168.36 − 188.37 = −20.01 cm³
4. ΔG = ΔH − TΔS = −17,930 − 298.15 × (−36.37) = −17,930 + 10,844 = −7.09 kJ

判斷

地質意義：左邊是斜長石橄欖岩（淺），右邊是尖晶石橄欖岩（深）。

陷阱：ΔH 是 kJ、ΔS 是 J/K，代入 ΔG 前要統一成 J；T 用 K；兩個負號相乘變正。

思路：開放系統，H₂CO₃ 由 P_CO₂ 決定；電荷平衡只剩 H⁺ 和 HCO₃⁻（酸性時 CO₃²⁻、OH⁻ 可忽略）。

步驟

1. [H₂CO₃] = K_CO₂ × P_CO₂ = 10⁻¹·⁴⁷ × 10⁻³·⁴³ = 10⁻⁴·⁹⁰ M
2. 電荷平衡：[H⁺] = [HCO₃⁻] + 2[CO₃²⁻] + [OH⁻] ≈ [HCO₃⁻]
3. 代入 K₁ = [H⁺][HCO₃⁻] / [H₂CO₃] → [H⁺]² = K₁[H₂CO₃] = 10⁻⁶·³⁵ × 10⁻⁴·⁹⁰ = 10⁻¹¹·²⁵
4. [H⁺] = 10⁻⁵·⁶² → pH ≈ 5.6

陷阱：log 相加時指數直接相加；開根號是指數除以 2。

思路：每個當量點就是「把某種純物質溶進水」，寫出那個溶液的電荷平衡，只留主要項。

最快的近似（考試先寫這個）

• CO₂ EP：pH ≈ ½(pK₁ − log C_T) = ½(6.35 + 2) ≈ 4.2
• HCO₃⁻ EP：pH ≈ ½(pK₁ + pK₂) = ½(6.35 + 10.33) ≈ 8.3
• CO₃²⁻ EP：pOH ≈ ½(pK_b − log C_T) = ½(3.67 + 2) ≈ 2.8 → pH ≈ 11.2（精確解 11.13）

陷阱：CO₃²⁻ EP 要先換成 K_b 算 OH⁻，最後用 pH = 14 − pOH。

思路：鹼度 = 以 CO₂ 當量點的主要物種為「零點」，每個物種比零點少了幾個 H⁺，就記幾倍正；比零點多的記負。

步驟

1. 零點（題目提示）：H₄SiO₄、B(OH)₃、H₂S、H₂PO₄⁻、H₂CO₃ → 它們在式子裡係數為 0，不出現。
2. 逐一比較：

3. 答案：

Alk = [HCO₃⁻] + 2[CO₃²⁻] + [H₃SiO₄⁻] + [B(OH)₄⁻] + [HS⁻] + [HPO₄²⁻] + [OH⁻] − [H⁺]

陷阱：HPO₄²⁻ 的係數是 1 不是 2，因為零點是 H₂PO₄⁻，不是 H₃PO₄。

思路：開放系統，P_CO₂ 固定 → [H₂CO₃] 固定 = 10⁻⁴·⁹⁰。加 NaOH 後 pH 上升，HCO₃⁻、CO₃²⁻ 跟著變多。用電荷平衡寫出加了多少鹼 C_B，再對 pH 微分。

步驟

1. 各物種用 [H⁺] 表示：
   • [HCO₃⁻] = K₁[H₂CO₃] / [H⁺]
   • [CO₃²⁻] = K₂[HCO₃⁻] / [H⁺]
2. 電荷平衡（Na⁺ = C_B）：C_B = [HCO₃⁻] + 2[CO₃²⁻] + [OH⁻] − [H⁺]
3. 對 pH 微分：每個跟 1/[H⁺] 成正比的項，微分後乘 2.303；CO₃²⁻ 跟 1/[H⁺]² 成正比，再多乘 2：

4. 代數字：

結論：開放系統中，pH 每升一單位，HCO₃⁻ 大約多 10 倍 → β 隨 pH 一直增加（對數圖上幾乎是斜率 1 的直線）。一開始加一點 NaOH，pH 就升很多；pH 越高，要加越多鹼才推得動。這跟封閉系統不同：封閉系統的 β 在 pK₁、pK₂ 最大，在當量點最小。

陷阱：開放系統 [H₂CO₃] 是固定的，不是 C_T 固定。

思路：分率只跟 K 和 [H⁺] 有關，總濃度會消掉。

步驟

1. K = [PbOH⁺][H⁺] / [Pb²⁺] → [PbOH⁺]/[Pb²⁺] = K/[H⁺]
2. 分率 α = [PbOH⁺] / ([Pb²⁺] + [PbOH⁺]) = K / (K + [H⁺])

規律：S 形曲線，pH = pK = 7.7 時剛好各一半。跟碳酸系統的交叉點（pH = pK₁、pK₂）是同一個道理。

陷阱：總 Pb 10⁻⁸ M 是干擾資訊，算分率用不到。

1. t = d/v = 1/H₀
2. 統一單位：1 Mpc = 3.08×10¹⁹ km；1 yr = 3.16×10⁷ s
3. H₀ = 70 km/s/Mpc → t = 3.08×10¹⁹ ÷ 70 = 4.4×10¹⁷ s ÷ 3.16×10⁷ ≈ 1.4×10¹⁰ yr

1. BE = N·mₙ + Z·mₚ + Z·mₑ − M（mₙ = 1.00866、mₚ = 1.00728、mₑ = 0.00055 amu）
2. = 20(1.00866) + 16(1.00728) + 16(0.00055) − 35.96708 = 0.3314 amu
3. 每核子：÷ A（36）= 0.00920 amu（× 931.5 ≈ 8.57 MeV）

1. 卡計熱容 = 水的莫耳熱容 × 水的莫耳數 = 75.3 × (5000/18) = 20,917 J/K
2. 吸的熱 = 熱容 × 升溫 = 20,917 × 9.9 = 207.08 kJ
3. 算生成了幾莫耳產物：1 mol Na → 0.5 mol Na₂O
4. 每莫耳：207.08 ÷ 0.5 = 414.16 kJ；水溫上升 = 放熱 → ΔH°f = −414.16 kJ/mol

1. T 換成 K：298.15、573.15
2. ΔH = a(T₂ − T₁) + (b/2)(T₂² − T₁²) + c(1/T₂ − 1/T₁)（−c/T² 積分變 +c/T）
3. = 12,908.5 + 4,109.3 − 1,818.0 ≈ 15.2 kJ/mol
4. ΔS 同理，每項多除一個 T：a ln(T₂/T₁) + b(T₂ − T₁) + (c/2)(1/T₂² − 1/T₁²) ≈ 35.5 J/K·mol

1. 查表：ΔH = 1860 J、ΔS = 2.37 − 5.74 = −3.37 J/K、ΔV = 3.417 − 5.298 = −1.881 cm³ = −1.881 J/MPa
2. 地表 ΔG = ΔH − TΔS = 1860 + 298.15 × 3.37 = +2865 J → 往右不自發，石墨穩定
3. 加壓讓 ΔG 降到 0：2865 + ΔV·ΔP = 0 → ΔP = 2865/1.881 ≈ 1.5 GPa
4. 相界斜率：dP/dT = ΔS/ΔV = (−3.37)/(−1.881) ≈ 1.79 MPa/K

1. c = n − r：數物種 n、數獨立反應 r（例：碳酸水溶液 6 種物種、3 個反應 → c = 3）
2. f = c − φ + 2：一相 → 面積、兩相 → 線、三相 → 點

• 給定 [F⁻] = 10⁻⁴ M：[Ca²⁺] = K_sp/[F⁻]² = 3.9×10⁻¹¹/10⁻⁸ = 3.9×10⁻³ M（F⁻ 要平方）
• 純水中溶解度：設 [Ca²⁺] = x、[F⁻] = 2x → K_sp = 4x³ → x = (K_sp/4)^(1/3) = 2.1×10⁻⁴ M

1. ΔG° = −RT ln K → ln K = −(ΔH°/R)(1/T) + ΔS°/R
2. ln K 對 1/T：斜率 = −ΔH°/R、截距 = ΔS°/R
3. 好溫度計：ΔH 大、ΔV 小；好壓力計：ΔV 大
4. 例：橄欖石–熔體 K_D：log K_D = 171/T − 0.63，1473 K 時 K_D ≈ 0.31；171/T 很小 → 對溫度不敏感

1. [A] = [A]₀e^(−kt)
2. t½ = ln2/k = 0.693/0.014 ≈ 50 s；每過一個半衰期剩一半

1. 先確認穩態：流入總和 = 流出總和
2. τ = 儲庫大小 ÷ 通量（例：湖 1000 ÷ 60 ≈ 16.7 yr）
3. 反過來求通量：F = M/τ（例：深海 38,000 PgC ÷ 380 yr = 100 PgC/yr）

1. 每一步換成 ΔG = −zFE：Fe³⁺/Fe²⁺：−1·F·0.77 = −0.77F；Fe²⁺/Fe：−2·F·(−0.44) = +0.88F
2. ΔG 相加：+0.11F
3. 換回 E：E = −ΔG/(zF) = −0.11/3 ≈ −0.037 V

1. pε = E/0.0592；pε° = (1/n)log K
2. 寫出半反應：SO₄²⁻ + 9H⁺ + 8e⁻ ⇌ HS⁻ + 4H₂O，log K = 33.64
3. log K = log(a_HS⁻/a_SO₄) + 9pH + 8pε；邊界上兩者相等，第一項 = 0
4. pε = 4.21 − 1.125 pH（斜率 = −H⁺ 數/電子數 = −9/8）；pH 7 時 pε ≈ −3.7
5. 水的範圍：上界 pε = 20.75 − pH、下界 pε = −pH